Teoremas del 16 al 30

Teorema 16

Si dos paralelas son cortadas por una transversal loa ángulos alternos-internos son iguales.

 Sea AB y CD dos paralelas cortadas por una transversal XY en los puntos P y Q respectivamente.
Demostrar que < APQ=<DQP

 

Teorema 17

Si dos rectas situadas en el mismo plano forman con la transversal ángulos alternos –internos iguales ,esas dos rectas son paralelas.

 Sean AB y CD dos paralelas cortadas por la transversal XY en los puntos Q y P respectivamente.

Demostrar que <APQ =<DQP

Teorema 18

Si dos paralelas son cortadas por una transversal  los ángulos correspondientes son iguales.

Sean AB, CD dos paralelas cortadas por la transversal XY en los puntos P y Q respectivamente.
Demostra que <BPX = <DQX

Teorema 19

La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos

Sea ABC un triangulo cualquiera.

Demostrar que <A+<B+<C= 2rt

Teorema 20

La suma de los dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia menor.

Sea el lado mayor de triangulo ABC

Demostrar que BC+CA>AByAB-BC<CA

Teorema 21

Si dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor ángulo.

Sea ABC un triangulo en que BC es mayor que CA

Demostrar que <BAC><B

Teorema 22

Si dos ángulos de un triángulo son desiguales al mayor ángulo se opone mayor lado.

 Sea ABC un triangulo en que el angulo A es mayor que el B

Demostrar que BC>CA

Teorema 23

Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y al ángulo comprendido entre los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo, es mayor que el tercer lado del segundo.

Sean ABC y XYZ dos triangulos en que AC=XZ,BC=XY, y <C><Z

Demostrar que AB>XY

Teorema 24

Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y al ángulo comprendido entre los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo, es mayor que el tercer lado del segundo.

Sean ABC y XYZ dos triangulos en que AC=XZ, BC=YZ, y AB>XY

Demostra que <C><Z

Teorema 25

Si los ángulos son respectivamente paralelos a los del otro, los dos angulos son igualeso suplementarios

 Sean AoB un angulo cualquiera, y XZ, YZ dos rectas paralelas a los ladosdel angulo y que se cortan en P.

Demostrar que <p=<O y que el angulo p' es el suplementario del angulo O.

Teorema 27
En todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto.

Sea ABCD un paralelogramo cualquiera
Demostrar que BC=AD, AB=DC

Teorem 28

Si los lados de un  cuadrilatero son iguales y paralelos, los otros dos tambien los son, y por lo tanto el cuadrilatero es un paralelogramo.

Sea ABCD un cuadrilate ro en que el lado AB es igual y paralelo al lado DC
Demostrar queel cuadrilatero ABCD es un paraleogramo.

Terorema 29
Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

Sea ABCD un paralelogramo cuyas diagonales AC y BD se cortan el punto O.
Demostrar que   AO=OC ; BO=OD

Teorema 30

Si dos lados adyacentes de un paraleogramo y el angulo comprendido son respectivamente iguales a los del otro, los dos paralelogramos son iguales.

Sean A',B',C'y D' dos paralelogramos en que AB=A',B', AD=A'D',y <A=<A'
Demostra que los paralelogramos son iguales.

 Teorema 31

Si los segmentos determinados en una transversal  por tres o mas paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquiera otra transversal por las mismas paralelas.

Sean AB, CD, EF, GH cuatro paralelas que determinan en la tranversal BH los segmentos iguales DB, DF, FH y los segmentos AC, CE, EG en otra transversal AG.

Demostrar que AC=CE=EG

Demostracion

Trancense AP, CQ, ER paralelas a BH.

Los angulos APC,CQE, ERG son respectivamente iguales a BDC,DFE, FHG.

Por teorema que dice “ Si dos paralelas son cortadas por una transversal los angulos correspondientes son iguales”.

Ahora bien, los angulos BDC, DFE, FHG son iguales por el teorema que dice “Si dos paralelas son cortadas por una transversal los anguulos correspondientes son iguales” 

los angulos APC, CQE,ERG son iguales por el axioma que dice “Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si”

AP,CQ, ER SON son paralelas por el corolario 2 que dice “Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre si”

Fff Los triangulos CAP,ECQ, GER son iguales por el teorema que dice “Si dos paralelas son cortadas por una transversal los anguulos correspondientes son iguales”

También, AP=BD,  CQ=DF, ER=FH  por el corolario que dice “Los segmentos de paralelas comprendidos entre son paralelas”

Ademas BD=DF=FH  Por hipotesis

 AP=CQ=ER  son iguales por el axioma que dice “Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si”

los triangulos CPA, ECQ, GRE son iguales por el teorma que dice “Dos triangulos son iguales respectivamente un lado y los angulos adyacentes a ese lado.”

 AC=CE=EG por el colorario que dice”Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales”

 Teorema 32

Teorema 32

La suma de lso angulos internos de un poligono es igual a dos rectas multiplicando poe el exceso del numero de lados del poligono sobre dos.

Sea ABCDEF un poligono de n lados

Demostrar que la suma de los angulos internos es 2rt x (n-2)

Demostracion

Tracense las diagonales de AC,AD,AE

La suma de los triangulos de los triangulos  así formados es igual a la suma de los angulos del poligono

Por el axioma que dice “El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.

El numero de triangulos es n-2, a cada lado corresponde un triangulo, menos a AB y a AF

La suma de los angulos de cada triangulo =2rt

La suma de los angulos de los (n-2) triangulos, osea, la suma de los del poligono, es 2rt x (n-2) L.C.C.D

Teorma 33

La suma de los angulos externos de un poligono, formados prolongando los lados sucesivamente, es igual a cuatro rectos.

Sea ABCDE un poligono de n lados, y sean  a’, b’, c’, d’ y e’ los angulos externos formados prolongando los lados consecutivamente.

Demostrar que la suma de los angulos  externos es cuatro rectos.

Demostracion

Represenranse por a,b,c,d, e los angulos del poligono adayacentes a a’,b’,c’,d’,e’ respectivamente.

Entonces  se tiene:

Angulo a+angulo a’=2rt

Angulo b+angulo b’=2rt

Por el teorema que dice “La suma de los dos angulos adyacentes que una recta forma con otra es igual a 2rt.

Asimismo, la suma de todo otro angulo iterno y el externo adyacente es 2rt.

 Como el poligono tiene n lados, hay n pares de angulos adyacentes suplementarios, y por tanto la suma de los angulos externos e internos es 2n rt

Pero la suma de los angulos internos= 2(n-2)rt

                                                                  =2n rt- 4rt

Fff suma de los angulos externos =2nrt –(2n rt-4rt)=4rt L.C.C.D

Teorema 34

La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.

Sea OY la perpendicular bisectriz de la recta AB

Demostrar que OY es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de Ay B

Demostacion.

Sea P un punto de OY, y C un punto cualquiera exterior a OY.

Tracense PA,PB , CA, CB.

Puesto que AO=BO,

Y también OP=OP por icentidad

Siguese que El triangulo AOP=al triangulo BOP por el corolorario que dice “Dos triangulos rectangulos son iguales si dos lados cualesquiera  del uno son iguales a los corresponfdientes dos lados del otro.”

PA=PB Por el corolario que dice “La partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.”

Sea D la interseccion de CA y OY. Tracese DB

Siguese como antes que DA=DB

Ahora Bien,  CB<CD+DB por el postulado que dice que “El camino mas corto entre dos puntos es la recta que los une.”

CB<CD+DA por el axioma que dice “Toda cantidad puede reemplazarse con su igual.”

Esto es CB<CA

OY es el lugar geometrico dicho. L.C.C.D

Teorema 35

El lugar geometrico de los puntos equiistantes de dos rectas que se cortan consta de las dos bisectrices de los angulos formados por las dos rectas.

Sea XX’, YY’ dos rectas que se cortan en O. Sean CA la bisectriz de YOX’, y BD la de XOY.

Demostrar que las rectas CA y BD constitiyen el lugar geometrico de los puntos equidistantes de XX’ e YY’.

Demostracion: Sean P un punto cualquiera  de CA o BD, y Q un punto cualquiera exterior a estas rectas. Trancense  PM y QR son perpendiculares a XX’ , y PN y QS es penpendicular a YY’

El angulo MOP=al angulo PON por hipotesis

OP=OP por identidad

EL tiangulos OMP=ONP  por el teorema que dice” Dos triangulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los angulos adyacentes a ella.”

PM=PN por el corolario que dice “Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.”

Sea P’la interseccion de QS y OA. Tracense P’T perpendicular a XX’, y QT. Siguese como antes que P’T=P’S

Ahora bien, P’T+P’Q>QT por el axioma que dice “ El camino mas corto entre dos puntos es la recta que los une.”

QT>QR por el teorema que dice “La pependicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.”

P’T+P’Q>QR poe el axioma que dice “S i una cantidad es mayor que otra, y esta , mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera.”

Sustituyendo P’S+P’Q>QR, o QS>QR

Las sos bisectrices forman el lugar geometrico dicho. L.C.C.D.

Teorma  36

 En un mismo circulo o en  circulos iguales, angulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos angulos desiguales interceptan mayor arco.

Sean O y O’ los centros de sos circulos iguales; y suponganse que los angulos AOB, A’O’B’ son iguales, y que el angulo AOC es mayor que el A’O’B’.

Demostrar:

1= que arco AB=arco A’B’

2= que arco AC>arco A’B’

Demostracion

1= Coloquese el circulo O sobre el O’ de suerte que el Angulo AOB coincida con su igual A’O’B’. Si se trata de dos angulos de un mismo circulo, hagase  girar el angulo AOB hasta que coincida con su igual.

Puestoque los radios son iguales, el punto A caera sobre el A’, Y EL B sobre el B’.

Arco AB coincidara con arco A’B’  por  la definicon de un circulo “llameme circulo una figura plana limitadad por una curva cerrada coyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro”.

2. Se tiene, por hipotesis:

Angulo AOC> angulo A’O’B’

Angulo AOB=angulo A’O’B’

Angulo AOC>Angulo AOB por el axioma  que dice “Toda cantidad puede reemplazarse con su igual”

OC esta fuera del angulo AOB

Arco AC> arcoAB por el axioma que dice”El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.”

y por tanto, puesto que arco AB=arco A’B’,

arco AC> arco A’B’ L.C.C.D

Teorema 37

En un mismo circulo o en circulos iguales, arcos iguales subtienden angulos centrales iguales; y el mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor angulo central que el menor.”

Sean O y O’ dos circulos iguales en que los arcos AB, A’B’ iguales y el arco AC es mayor que el A’B’.

 Demostrar:

 1: que angulo AOB=A’O’B’

2:que AOC>A’O’B’

 Demostracion

1: Coloquese el circulo O sobre el O’ de suerte que  Oa coincida co O’A, y el arco AB con el A’B’

Entonces OB coincidira con O’B’ por el pstulado que dice “Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta, y solo una.”

2: Puesto que el arco AC es mayor que el A’B’, es mayor que AB(=A’B’), Y OB se halla dentro del angulo AOC.

Angulo AOC>angulo AOB por el axioma que dice “ El todo es mayor  que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.”

Angulo AOC> A’O’B’ por el axioma que dice “ Toda cantidad puede reemplazarse por su igual.” L.C.C.D

Teorema 38

En un mismo circuloo en circulos iguales, arcos iguales son subtendidios por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.

Sean O y O’ de dos circulos iguales, y que el arco AF es mayor que el A’B’

 Demostrar:

1: que cuerda AB= Cuerda A’B’

2: que cuerda AF> cuerda A’B’

Demostarcion

1:Tracense OA,OB, OF en el circulo O, y O’A’, O’B’ en el O’.

Tienese: OA=O’A’, y OB=O’B’ por el  Igualda de los radios que dice “ Todos los radios de un circulo son iguales. Dos circulos son iguales si sus radios lo son .”

Y también  cuerada AB= cuerda A’B’ por hipotesis

Siguese que  el triangulo OAB=triangulo O’A’B’ por  el teorema que dice “ Si los tres lados de un triangulo son respectivamente a los tres lados de otro, los dos triangulos iguales.”

El angulo AOB=O’A’B’

El arco AB= al arco A’B’ por  el teorema que dice “ En un mismo circulo o en circulos iguales, angulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos angulos desiguales intercepta mayor arco.”

2:Se tiene  OA=O’A’, OF=O’B’ por la deficionde la igualdad de los radios que dice “Todos los radios de un circulo son iguales. Dos circulos son iguales si sus radios lo son.”

Ahora bien,

Cuerda AF> Cuerda A’B’ por hipotesis.

El angulo AOF> al angulo A’O’B’ por el teormea que dice “ si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.”

El arco AF> al arco A’B’ L.C.C.D

Teorema 40

La perpendicular trazada por el centro de un crculo a una cueradala cuerada y los arcos subtendidos.

Sea PQ una perpendicular trazada por el centro O de un circulo AQBP a la cuerada AB.

Demostrar que AM=BM, arco AQ=arco BQ, y arco AP=arco BP

Demostracion:

Tracense los radios OA, OB.

 Puesto que OM=OM, y OA=OP

Siguese que el triangulo AOM=al Triangulo BMO por el teorma que dice “Dos tirangulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa  y un cateto del otro.”

Y por tanto AM=BM, el angulo AOQ=angulo BOQ 

Asimismo,  el angulo AOP=al angulo BOP por  el corolario que dice “Angulos iguales tiene complementos iguales, suplmentos iguales y conjugados iguales.”

EL arco AQ=arco BQ, y arco AP= arco BP L.C.C.D

TEOREMAS

                                                      TEOREMA I

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Datos: Sean AC y BD dos rectas que se cortan en O.

Demostrar que:<AOB  =  <COD

< AOB + <BOC = 180                                  ángulos colineales

<BOC + <COD = 180                                   ángulos colineales

Entonces:

< AOB + <BOC = <BOC + <COD  todos los ángulos de lados colineales son iguales

Entonces:

< AOB = <COD                                si de cantidades iguales se restan  cantidades iguales, los resultados son iguales.                                   L.q.q.d

                                                 TEOREMA II

Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido a otro triangulo, los dos triángulos son iguales.

Datos: en el cuadrado ABCD.

Demostrar que: AC = BD

Tomo los triángulos ABC y BAD

AB = AB                                           lado común

BC = AD                                           lado del cuadrado

< ABC = < BAD                               ángulos rectos (90 grados)

Entonces:

Triangulo ABC = triangulo BAD      por hipótesis

Como: triángulos son =s

Entonces:

AC = BD                                           l.q.q.d

                                                           TEOREMA III

Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.

Dato: sean los triángulos ABC, XYZ, en que los ángulos A y B son iguales respectivamente a los X e Y, y AB es igual a XY.

Demostrar que: triangulo ABC  =  triangulo XYZ

Colóquese el triángulo ABC sobre el XYZ

Tal que AB coincide con su igual XY

            AC coincide con su igual XZ

(toda figura puede hacerse cambiar de posición sin que se altere su forma ni dimensiones)

< a = < x                     dato

Como:

AB = XY                   demostrado

AC = XZ                    demostrado

< A =< B                    demostrado

Entonces:

Triangulo ABC = triangulo XYZ      teorema 2                               L.q.q.d

                                                       TEOREMA IV

En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Dato: sea ABC un triángulo isósceles en el que AC = BC

Demostrar que: < A = < B

CD  bisecta el < ACB                                   por construcción

Formo los triángulos ADC y BDC

AC = BC                                            dato

< ACD = < BCD                               por construcción

CD = CD                                           lado común

Entonces:

Triangulo ADC = triangulo BDC      teorema 2

Entonces:

< A = < B                                                                              L.q.q.d

                                                         TEOREMA VI

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados del otro, los dos triángulos son iguales.

Datos: sean ABC Y A´B´C´ dos triángulos

            AB = A´B´

            BC =B´C´

            CA = C´A´

Demostrar que: los dos triángulos son iguales.

En el triángulo CAC

CA = CÁ                    dato

Entonces:

Ángulo ACC´ = ángulo AC´C                      teorema 4

En el triángulo BCC´

BC = BC´                   dato

Entonces:

Angulo BCC´= ángulo BC´C                        teorema 4

Tomo los triángulos ACB y AC´B

AC = AC´                  dato

BC = BC´                   dato

Angulo ACC´+ ángulo BCC´=  ángulo AC´C + ángulo BC´C

Entonces:

Triangulo ABC = triangulo A´B´C               teorema 2.                              Lq.q.d

                                                          TEOREMA VII

Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.

Datos: sean PA y PB dos rectas trazadas del punto interior P del triángulo ABC  a los extremos de AB

Demostrar que: CA + CB > PA +PB

CA + CQ > PA + PQ            la línea más corta entre dos puntos es la recta que los une.

PQ + QB > PB                       la línea más corta entre dos puntos es la recta que los une.

CA + CQ + QB > PA + PB

Entonces:

CA + CB >     PA + PB                                                        Lq.q.d

                                                    TEOREMA VIII

De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.

Datos: sea P el punto exterior a la recta XY, PO una perpendicular bajada de P a XY, y PZ otra recta cualquiera trazada de P a XY.

Demostrar que: PZ no es perpendicular a XY

Trazamos P´Z

POP´ es una recta                   por construcción

Entonces:

PZP´  no es una recta

El ángulo  P´ZP no es de lados colineales

Ahora:

Angulo POZ  y ángulo ZOP´ son rectos

Angulo POZ = ZOP´

PO = OP¨

OZ =OZ

Entonces:

Triangulo OPZ = triangulo OP´Z                  teorema 2

También:

Angulo OZP = ángulo OZP´

Angulo OZP, mitad del ángulo P´ZP, no es recto

Entonces: PZ no es perpendicular a XY.                                          L.q.q.d


                                                       TEOREMA IX

Si de un punto de una perpendicular de una recta se trazan al a recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular.

Datos: sea PO perpendicular a XY, PA Y PB dos oblicuas de P a XY de tal forma OA = OB

Demostrar que: PA= PB y ángulo APO = ángulo BPO

Tomo los triángulos AOP y BOP

PO perpendicular a XY         dato

OA = OB                               dato

PO = PO                                lado común

Entonces:

Triangulo AOP =BOP

Entonces:

PA = PB

Angulo APO = ángulo BPO                                     L.q.q.d

                                                   TEOREMA X

Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten desde la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.

Datos: PO perpendicular a XY, PA y PC dos oblicuas, OA > OC

Demostrar que: PA > PC

Como:

OC = OB                    por construcción

Y PO perpendicular a XY                 dato

Entonces:

PC = PB                     teorema 9

P´O = PO                   por construcción

PB = P´B                    teorema 9

En el triángulo PP´A

PO = P´O        por construcción

PA = P´A        teorema 9

PA + P´A > PB + P´B           teorema 8

2PA > 2PB

PA > PB

Como:

PB = PC                     demostrado

Entonces:

PA > PC                                                        L.q.q.d

                                                     TEOREMA XII

Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro.

Datos: sean ABC,  A´B´C´ dos triángulos rectángulos tales que:

            AC = A´C´

            BC = B´C´

Demostrar que: triangulo ABC = triangulo A´B´C´

Tomo los triángulos ABC y A´B´C´

CA=  A´C´                 dato

BC = B´C                   lado común

AB = A´B                  teorema 9

Angulo ABC = ángulo A´B´C´

Entonces:

Triangulo ABC = triangulo A´B´C´              teorema 2.                   L.q.q.d

 TEOREMA XIV

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendicular a una tercera no pueden encontrarse por más que se prolonguen.

Datos: sean AB y CD dos perpendiculares a XY.

Demostrar que: AB Y CD no pueden encontrarse por más que se prolonguen.

Angulo XAB = 90˚

Ángulo CAB = 90˚

Entonces:

Angulo XAB = ángulo CAB             AB perpendicular XY

Y:

Angulo ACD = 90˚

Angulo YCD = 90˚

Entonces:

Angulo ACD = ángulo YCD            CD perpendicular XY

Como:

XAB + CAB = 180˚

ACD + YCD = 180˚

Entonces:

AB es paralela a CD, por lo tanto no se encontraran por más que se prolonguen.         L.q.q.d

                                                TEOREMA XV

Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es perpendicular a las otras.

Datos: AB y CD dos paralelas, XY perpendicular a AB, P puno de intersección  de CD, XY

Demostrar que: XY es perpendicular a CD

MN perpendicular a XY                    por construcción

AB es paralela a CD                          dato

XY perpendicular a AB                     dato

Como:

MN es perpendicular a XY                por construcción

MN es paralela a AB

Pero como:

AB es paralela a CD              dato

entonces:

MN coincide con CD

XY es perpendicular a CD                                        L.q.q.d