Teorema 31

Si los segmentos determinados en una transversal  por tres o mas paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquiera otra transversal por las mismas paralelas.

Sean AB, CD, EF, GH cuatro paralelas que determinan en la tranversal BH los segmentos iguales DB, DF, FH y los segmentos AC, CE, EG en otra transversal AG.

Demostrar que AC=CE=EG

Demostracion

Trancense AP, CQ, ER paralelas a BH.

Los angulos APC,CQE, ERG son respectivamente iguales a BDC,DFE, FHG.

Por teorema que dice “ Si dos paralelas son cortadas por una transversal los angulos correspondientes son iguales”.

Ahora bien, los angulos BDC, DFE, FHG son iguales por el teorema que dice “Si dos paralelas son cortadas por una transversal los anguulos correspondientes son iguales” 

los angulos APC, CQE,ERG son iguales por el axioma que dice “Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si”

AP,CQ, ER SON son paralelas por el corolario 2 que dice “Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre si”

Fff Los triangulos CAP,ECQ, GER son iguales por el teorema que dice “Si dos paralelas son cortadas por una transversal los anguulos correspondientes son iguales”

También, AP=BD,  CQ=DF, ER=FH  por el corolario que dice “Los segmentos de paralelas comprendidos entre son paralelas”

Ademas BD=DF=FH  Por hipotesis

 AP=CQ=ER  son iguales por el axioma que dice “Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si”

los triangulos CPA, ECQ, GRE son iguales por el teorma que dice “Dos triangulos son iguales respectivamente un lado y los angulos adyacentes a ese lado.”

 AC=CE=EG por el colorario que dice”Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales”

 Teorema 32

Teorema 32

La suma de lso angulos internos de un poligono es igual a dos rectas multiplicando poe el exceso del numero de lados del poligono sobre dos.

Sea ABCDEF un poligono de n lados

Demostrar que la suma de los angulos internos es 2rt x (n-2)

Demostracion

Tracense las diagonales de AC,AD,AE

La suma de los triangulos de los triangulos  así formados es igual a la suma de los angulos del poligono

Por el axioma que dice “El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.

El numero de triangulos es n-2, a cada lado corresponde un triangulo, menos a AB y a AF

La suma de los angulos de cada triangulo =2rt

La suma de los angulos de los (n-2) triangulos, osea, la suma de los del poligono, es 2rt x (n-2) L.C.C.D

Teorma 33

La suma de los angulos externos de un poligono, formados prolongando los lados sucesivamente, es igual a cuatro rectos.

Sea ABCDE un poligono de n lados, y sean  a’, b’, c’, d’ y e’ los angulos externos formados prolongando los lados consecutivamente.

Demostrar que la suma de los angulos  externos es cuatro rectos.

Demostracion

Represenranse por a,b,c,d, e los angulos del poligono adayacentes a a’,b’,c’,d’,e’ respectivamente.

Entonces  se tiene:

Angulo a+angulo a’=2rt

Angulo b+angulo b’=2rt

Por el teorema que dice “La suma de los dos angulos adyacentes que una recta forma con otra es igual a 2rt.

Asimismo, la suma de todo otro angulo iterno y el externo adyacente es 2rt.

 Como el poligono tiene n lados, hay n pares de angulos adyacentes suplementarios, y por tanto la suma de los angulos externos e internos es 2n rt

Pero la suma de los angulos internos= 2(n-2)rt

                                                                  =2n rt- 4rt

Fff suma de los angulos externos =2nrt –(2n rt-4rt)=4rt L.C.C.D

Teorema 34

La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.

Sea OY la perpendicular bisectriz de la recta AB

Demostrar que OY es el lugar geometrico de todos los puntos equidistantes de Ay B

Demostacion.

Sea P un punto de OY, y C un punto cualquiera exterior a OY.

Tracense PA,PB , CA, CB.

Puesto que AO=BO,

Y también OP=OP por icentidad

Siguese que El triangulo AOP=al triangulo BOP por el corolorario que dice “Dos triangulos rectangulos son iguales si dos lados cualesquiera  del uno son iguales a los corresponfdientes dos lados del otro.”

PA=PB Por el corolario que dice “La partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.”

Sea D la interseccion de CA y OY. Tracese DB

Siguese como antes que DA=DB

Ahora Bien,  CB<CD+DB por el postulado que dice que “El camino mas corto entre dos puntos es la recta que los une.”

CB<CD+DA por el axioma que dice “Toda cantidad puede reemplazarse con su igual.”

Esto es CB<CA

OY es el lugar geometrico dicho. L.C.C.D

Teorema 35

El lugar geometrico de los puntos equiistantes de dos rectas que se cortan consta de las dos bisectrices de los angulos formados por las dos rectas.

Sea XX’, YY’ dos rectas que se cortan en O. Sean CA la bisectriz de YOX’, y BD la de XOY.

Demostrar que las rectas CA y BD constitiyen el lugar geometrico de los puntos equidistantes de XX’ e YY’.

Demostracion: Sean P un punto cualquiera  de CA o BD, y Q un punto cualquiera exterior a estas rectas. Trancense  PM y QR son perpendiculares a XX’ , y PN y QS es penpendicular a YY’

El angulo MOP=al angulo PON por hipotesis

OP=OP por identidad

EL tiangulos OMP=ONP  por el teorema que dice” Dos triangulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los angulos adyacentes a ella.”

PM=PN por el corolario que dice “Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.”

Sea P’la interseccion de QS y OA. Tracense P’T perpendicular a XX’, y QT. Siguese como antes que P’T=P’S

Ahora bien, P’T+P’Q>QT por el axioma que dice “ El camino mas corto entre dos puntos es la recta que los une.”

QT>QR por el teorema que dice “La pependicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.”

P’T+P’Q>QR poe el axioma que dice “S i una cantidad es mayor que otra, y esta , mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera.”

Sustituyendo P’S+P’Q>QR, o QS>QR

Las sos bisectrices forman el lugar geometrico dicho. L.C.C.D.

Teorma  36

 En un mismo circulo o en  circulos iguales, angulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos angulos desiguales interceptan mayor arco.

Sean O y O’ los centros de sos circulos iguales; y suponganse que los angulos AOB, A’O’B’ son iguales, y que el angulo AOC es mayor que el A’O’B’.

Demostrar:

1= que arco AB=arco A’B’

2= que arco AC>arco A’B’

Demostracion

1= Coloquese el circulo O sobre el O’ de suerte que el Angulo AOB coincida con su igual A’O’B’. Si se trata de dos angulos de un mismo circulo, hagase  girar el angulo AOB hasta que coincida con su igual.

Puestoque los radios son iguales, el punto A caera sobre el A’, Y EL B sobre el B’.

Arco AB coincidara con arco A’B’  por  la definicon de un circulo “llameme circulo una figura plana limitadad por una curva cerrada coyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro”.

2. Se tiene, por hipotesis:

Angulo AOC> angulo A’O’B’

Angulo AOB=angulo A’O’B’

Angulo AOC>Angulo AOB por el axioma  que dice “Toda cantidad puede reemplazarse con su igual”

OC esta fuera del angulo AOB

Arco AC> arcoAB por el axioma que dice”El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.”

y por tanto, puesto que arco AB=arco A’B’,

arco AC> arco A’B’ L.C.C.D

Teorema 37

En un mismo circulo o en circulos iguales, arcos iguales subtienden angulos centrales iguales; y el mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor angulo central que el menor.”

Sean O y O’ dos circulos iguales en que los arcos AB, A’B’ iguales y el arco AC es mayor que el A’B’.

 Demostrar:

 1: que angulo AOB=A’O’B’

2:que AOC>A’O’B’

 Demostracion

1: Coloquese el circulo O sobre el O’ de suerte que  Oa coincida co O’A, y el arco AB con el A’B’

Entonces OB coincidira con O’B’ por el pstulado que dice “Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta, y solo una.”

2: Puesto que el arco AC es mayor que el A’B’, es mayor que AB(=A’B’), Y OB se halla dentro del angulo AOC.

Angulo AOC>angulo AOB por el axioma que dice “ El todo es mayor  que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.”

Angulo AOC> A’O’B’ por el axioma que dice “ Toda cantidad puede reemplazarse por su igual.” L.C.C.D

Teorema 38

En un mismo circuloo en circulos iguales, arcos iguales son subtendidios por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.

Sean O y O’ de dos circulos iguales, y que el arco AF es mayor que el A’B’

 Demostrar:

1: que cuerda AB= Cuerda A’B’

2: que cuerda AF> cuerda A’B’

Demostarcion

1:Tracense OA,OB, OF en el circulo O, y O’A’, O’B’ en el O’.

Tienese: OA=O’A’, y OB=O’B’ por el  Igualda de los radios que dice “ Todos los radios de un circulo son iguales. Dos circulos son iguales si sus radios lo son .”

Y también  cuerada AB= cuerda A’B’ por hipotesis

Siguese que  el triangulo OAB=triangulo O’A’B’ por  el teorema que dice “ Si los tres lados de un triangulo son respectivamente a los tres lados de otro, los dos triangulos iguales.”

El angulo AOB=O’A’B’

El arco AB= al arco A’B’ por  el teorema que dice “ En un mismo circulo o en circulos iguales, angulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos angulos desiguales intercepta mayor arco.”

2:Se tiene  OA=O’A’, OF=O’B’ por la deficionde la igualdad de los radios que dice “Todos los radios de un circulo son iguales. Dos circulos son iguales si sus radios lo son.”

Ahora bien,

Cuerda AF> Cuerda A’B’ por hipotesis.

El angulo AOF> al angulo A’O’B’ por el teormea que dice “ si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.”

El arco AF> al arco A’B’ L.C.C.D

Teorema 40

La perpendicular trazada por el centro de un crculo a una cueradala cuerada y los arcos subtendidos.

Sea PQ una perpendicular trazada por el centro O de un circulo AQBP a la cuerada AB.

Demostrar que AM=BM, arco AQ=arco BQ, y arco AP=arco BP

Demostracion:

Tracense los radios OA, OB.

 Puesto que OM=OM, y OA=OP

Siguese que el triangulo AOM=al Triangulo BMO por el teorma que dice “Dos tirangulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa  y un cateto del otro.”

Y por tanto AM=BM, el angulo AOQ=angulo BOQ 

Asimismo,  el angulo AOP=al angulo BOP por  el corolario que dice “Angulos iguales tiene complementos iguales, suplmentos iguales y conjugados iguales.”

EL arco AQ=arco BQ, y arco AP= arco BP L.C.C.D