TEOREMA I
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales
Datos: Sean AC y BD dos rectas que se cortan en O.
Demostrar que:<AOB = <COD
< AOB + <BOC = 180 ángulos colineales
<BOC + <COD = 180 ángulos colineales
Entonces:
< AOB + <BOC = <BOC + <COD todos los ángulos de lados colineales son iguales
Entonces:
< AOB = <COD si de cantidades iguales se restan cantidades iguales, los resultados son iguales. L.q.q.d
TEOREMA II
Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido a otro triangulo, los dos triángulos son iguales.
Datos: en el cuadrado ABCD.
Demostrar que: AC = BD
Tomo los triángulos ABC y BAD
AB = AB lado común
BC = AD lado del cuadrado
< ABC = < BAD ángulos rectos (90 grados)
Entonces:
Triangulo ABC = triangulo BAD por hipótesis
Como: triángulos son =s
Entonces:
AC = BD l.q.q.d
TEOREMA III
Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.
Dato: sean los triángulos ABC, XYZ, en que los ángulos A y B son iguales respectivamente a los X e Y, y AB es igual a XY.
Demostrar que: triangulo ABC = triangulo XYZ
Colóquese el triángulo ABC sobre el XYZ
Tal que AB coincide con su igual XY
AC coincide con su igual XZ
(toda figura puede hacerse cambiar de posición sin que se altere su forma ni dimensiones)
< a = < x dato
Como:
AB = XY demostrado
AC = XZ demostrado
< A =< B demostrado
Entonces:
Triangulo ABC = triangulo XYZ teorema 2 L.q.q.d
TEOREMA IV
En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
Dato: sea ABC un triángulo isósceles en el que AC = BC
Demostrar que: < A = < B
CD bisecta el < ACB por construcción
Formo los triángulos ADC y BDC
AC = BC dato
< ACD = < BCD por construcción
CD = CD lado común
Entonces:
Triangulo ADC = triangulo BDC teorema 2
Entonces:
< A = < B L.q.q.d
TEOREMA VI
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados del otro, los dos triángulos son iguales.
Datos: sean ABC Y A´B´C´ dos triángulos
AB = A´B´
BC =B´C´
CA = C´A´
Demostrar que: los dos triángulos son iguales.
En el triángulo CAC
CA = CÁ dato
Entonces:
Ángulo ACC´ = ángulo AC´C teorema 4
En el triángulo BCC´
BC = BC´ dato
Entonces:
Angulo BCC´= ángulo BC´C teorema 4
Tomo los triángulos ACB y AC´B
AC = AC´ dato
BC = BC´ dato
Angulo ACC´+ ángulo BCC´= ángulo AC´C + ángulo BC´C
Entonces:
Triangulo ABC = triangulo A´B´C teorema 2. Lq.q.d
TEOREMA VII
Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.
Datos: sean PA y PB dos rectas trazadas del punto interior P del triángulo ABC a los extremos de AB
Demostrar que: CA + CB > PA +PB
CA + CQ > PA + PQ la línea más corta entre dos puntos es la recta que los une.
PQ + QB > PB la línea más corta entre dos puntos es la recta que los une.
CA + CQ + QB > PA + PB
Entonces:
CA + CB > PA + PB Lq.q.d
TEOREMA VIII
De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.
Datos: sea P el punto exterior a la recta XY, PO una perpendicular bajada de P a XY, y PZ otra recta cualquiera trazada de P a XY.
Demostrar que: PZ no es perpendicular a XY
Trazamos P´Z
POP´ es una recta por construcción
Entonces:
PZP´ no es una recta
El ángulo P´ZP no es de lados colineales
Ahora:
Angulo POZ y ángulo ZOP´ son rectos
Angulo POZ = ZOP´
PO = OP¨
OZ =OZ
Entonces:
Triangulo OPZ = triangulo OP´Z teorema 2
También:
Angulo OZP = ángulo OZP´
Angulo OZP, mitad del ángulo P´ZP, no es recto
Entonces: PZ no es perpendicular a XY. L.q.q.d
TEOREMA IX
TEOREMA IX
Si de un punto de una perpendicular de una recta se trazan al a recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular.
Demostrar que: PA= PB y ángulo APO = ángulo BPO
Tomo los triángulos AOP y BOP
PO perpendicular a XY dato
OA = OB dato
PO = PO lado común
Entonces:
Triangulo AOP =BOP
Entonces:
PA = PB
Angulo APO = ángulo BPO L.q.q.d
TEOREMA X
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten desde la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.
Datos: PO perpendicular a XY, PA y PC dos oblicuas, OA > OC
Demostrar que: PA > PC
Como:
OC = OB por construcción
Y PO perpendicular a XY dato
Entonces:
PC = PB teorema 9
P´O = PO por construcción
PB = P´B teorema 9
En el triángulo PP´A
PO = P´O por construcción
PA = P´A teorema 9
PA + P´A > PB + P´B teorema 8
2PA > 2PB
PA > PB
Como:
PB = PC demostrado
Entonces:
PA > PC L.q.q.d
TEOREMA XII
Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro.
Datos: sean ABC, A´B´C´ dos triángulos rectángulos tales que:
AC = A´C´
BC = B´C´
Demostrar que: triangulo ABC = triangulo A´B´C´
Tomo los triángulos ABC y A´B´C´
CA= A´C´ dato
BC = B´C lado común
AB = A´B teorema 9
Angulo ABC = ángulo A´B´C´
Entonces:
Triangulo ABC = triangulo A´B´C´ teorema 2. L.q.q.d
TEOREMA XIV
Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendicular a una tercera no pueden encontrarse por más que se prolonguen.
Datos: sean AB y CD dos perpendiculares a XY.
Demostrar que: AB Y CD no pueden encontrarse por más que se prolonguen.
Angulo XAB = 90˚
Ángulo CAB = 90˚
Entonces:
Angulo XAB = ángulo CAB AB perpendicular XY
Y:
Angulo ACD = 90˚
Angulo YCD = 90˚
Entonces:
Angulo ACD = ángulo YCD CD perpendicular XY
Como:
XAB + CAB = 180˚
ACD + YCD = 180˚
Entonces:
AB es paralela a CD, por lo tanto no se encontraran por más que se prolonguen. L.q.q.d
TEOREMA XV
Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es perpendicular a las otras.
Datos: AB y CD dos paralelas, XY perpendicular a AB, P puno de intersección de CD, XY
Demostrar que: XY es perpendicular a CD
MN perpendicular a XY por construcción
AB es paralela a CD dato
XY perpendicular a AB dato
Como:
MN es perpendicular a XY por construcción
MN es paralela a AB
Pero como:
AB es paralela a CD dato
entonces:
MN coincide con CD
XY es perpendicular a CD L.q.q.d
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